(1998年试题，十)已知二次曲面方程x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4可以经过正交变换化为椭圆柱面方程η2+4ζ2=4，求a，b的值和正交矩阵P．

admin2013-12-27 84

问题 (1998年试题，十)已知二次曲面方程x²+ay²+z²+2bxy+2xz+2yz=4可以经过正交变换

化为椭圆柱面方程η²+4ζ²=4，求a，b的值和正交矩阵P．

选项

答案设二次型为f(x，y，z)=x²+ay²+=z²+2bxy+2xz+2yz则相应矩阵为[*]同时该二次型的标准形为f₁(ξ，η，ζ)=η²+4ζ²，其相应矩阵为[*]由于正交变换也是相似变换，不改变矩阵的特征值，因此λ₁=0，λ₂=1，λ₃=4也是矩阵A的特征值，由特征值多项式｜A—λE｜=0，有[*]将λ₁=0，λ₂=1，λ₃=4代入，可解得a=3且b=1．以下计算相应的特征向量以构造正交变换阵P．当λ₁=0，有Ax=0，ξ₁=[*]当λ₂=1，有(A—E)x=0，ξ₂=[*]当λ₃=4，有(A一4I)x=0，ξ₃=[*]从而正交变换矩阵为[*]

解析本题在求参数a，b时，亦可利用条件∑a_ij=∑b_ij和｜A｜=｜B｜来求得.

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考研数学一

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(1998年试题，十)已知二次曲面方程x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4可以经过正交变换化为椭圆柱面方程η2+4ζ2=4，求a，b的值和正交矩阵P．

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确定常数a使向量组α1=(1，1，a)T，α2=(1，a，1)T，α3=(0，1，1)T可由向量组β1=(1，1，a)T，β2=(-2，a，4)T，β3=(-2，a，a)T线性表示，但向量组β1，β2，β3不能由向量组α1，α2，α3线性表示．

若向量α，β，γ线性无关，向量组α，β，δ线性相关，则()

设函数在闭区间[0，1]上可微，对于[0，1]上的每一个x，函数f(x)的值都在开区间(0，1)内，且f’(x)≠1，证明在(0，1)内方程f(x)=x有且仅有一个实根．

设函数f(x)在点x0的某邻域内具有一阶连续导数，且，则()

设非齐次线性方程组Ax=β的通解为x=k1(1，0，0，1)T+k2(2，1，0，1)T+(1，0，1，2)T，其中k1，k2为任意常数．A=(α1，α2，α3，α4)，则()

设f(x)为偶函数，且(C为常数)，记，则对任意a∈(-∞，+∞)，F(-a)等于()

设函数y=y(x)由参数方程确定，求曲线y=y(x)为凹时，x的取值范围。

用配方法将二次型f(x1，x2，x3)=x12-3x32-2x1x2-2x1x3-6x2x3化为规范形，并写出变换矩阵．

设实二次型f(x1，x2，x3)=xTAx经正交变换化成的标准形为f=2y12-y22-y32，A是A的伴随矩阵，且向量α=[1，1，-1]T满足Aα=α，则二次型f(x1，x2，x3)=________．

设u(x，y)具有二阶连续偏导数，证明无零值的函数u(x，y)可分离变量(即u(x，y)=f(x)·g(y))的充分必要条件是

注水开发油田压裂选井、选层的原则之一是()。

最大极限尺寸与最小极限尺寸之代数差的绝对值称为()。

面向21世纪日本教育发展的主要方向是在宽松的环境中培养学生的()

具有“全或无”特征的电压动是

以下关于法人客户信用评级模型，说法正确的是()。

如果采用加权平均法计算综合保本点，下列各项中，将会影响综合保本点大小的有()。

AsEgyptianhighschoolstudentstaketheirfinalexamsthismonth,thegovernmentisfacingawaveofcriticismandmockeryaft

出席学术讨论会的有3个人是足球爱好者，4个是亚洲人，2个是日本人，5个是商人。以上叙述涉及了所有晚会参加者，其中日本人不经商。那么，参加晚会的人数是()。

在考生文件夹下，打开文挡WORD1．DOCX，按照要求完成下列操作并以该文件名(WORD1．DOCX)保存文档。【文档开始】信息与计算机在进入新世纪的时候，让我们回过头米看一看，什么是20世纪最重要的技术成果?人们可以列举出许

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