2. 考研
  3. (1999年)设函数f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=f(1)=0，．试证 (1)存在，使f(η)=η． (2)对任意实数λ，必存在ξ∈(0，η)，使得f’(ξ)=λ[f(ξ)一ξ]=1

(1999年)设函数f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=f(1)=0，．试证 (1)存在，使f(η)=η． (2)对任意实数λ，必存在ξ∈(0，η)，使得f’(ξ)=λ[f(ξ)一ξ]=1

admin2018-07-24  48
问题 (1999年)设函数f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=f(1)=0，．试证
(1)存在，使f(η)=η．
(2)对任意实数λ，必存在ξ∈(0，η)，使得f’(ξ)=λ[f(ξ)一ξ]=1
选项
答案(1)令φ(x)=f(x)一x，则φ(x)在[0，1]上连续．又φ(1)=一1＜0， [*] 由介值定理可知，存在 [*] 使得φ(η)=f(η)一η=0 即 f(η)=η (2)要证f’(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]=1，即要证 [f’(ξ)一1]一λ[f(ξ)一ξ]=0 也就是要证 φ’(ξ)一λφ(ξ)=0，因此构造辅助函数 F(x)=e－λxφ(x)=e－λx[f(x)一x] 则F(x)在[0，η]上满足罗尔定理的条件，故存在ξ∈(0，η)．使得F’(ξ)=0． 即 e－λξ[φ’(ξ)一λφ(ξ)]=0 而 e－λξ≠0，从而有 φ’(ξ)一λφ(ξ)=0 即 f’(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]=1
解析
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考研数学三

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