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(00年)设有n元实二次型 f(χ1,χ2,…,χn)=(χ1+a1χ2)2+(χ2+a2χ3)2+…+(χn-1+an-1χn)+(χn+anχ1)2, 其中a1(i=1,2,…,n)为实数.试问:当a1,a2…,an满足何种条件时,二次
(00年)设有n元实二次型 f(χ1,χ2,…,χn)=(χ1+a1χ2)2+(χ2+a2χ3)2+…+(χn-1+an-1χn)+(χn+anχ1)2, 其中a1(i=1,2,…,n)为实数.试问:当a1,a2…,an满足何种条件时,二次
admin
2017-05-26
86
问题
(00年)设有n元实二次型
f(χ
1
,χ
2
,…,χ
n
)=(χ
1
+a
1
χ
2
)
2
+(χ
2
+a
2
χ
3
)
2
+…+(χ
n-1
+a
n-1
χ
n
)+(χ
n
+a
n
χ
1
)
2
,
其中a
1
(i=1,2,…,n)为实数.试问:当a
1
,a
2
…,a
n
满足何种条件时,二次型f(χ
1
,χ
2
,…,χ
n
)为正定二次型.
选项
答案
由题设条件知,对任意的χ
1
,χ
2
,…,χ
n
,有 f(χ
1
,χ
2
,…,χ
n
)≥0 其中等号成立当且仅当 [*] 方程组(*)仅有零解的充分必要条件是其系数行列式不为零,即 [*] 所以,当1+(-1)
n+1
a
1
a
2
…a
n
≠0时,对于任意的不全为零的χ
1
,χ
2
,…,χ
n
,有f(χ
1
,χ
2
,…,χ
n
)>0,即当a
1
a
2
…,a
n
≠(-1)
n
时,二次型f为正定二次型.
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/StH4777K
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考研数学三
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