设二次型f(x1，x2，x3) =2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．

admin2016-01-11 65

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)
=2(a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃)²+(b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃)²，记

若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²．

选项

答案记A=2αα^T+ββ^T，因为α，β正交且均为单位向量，所以Aα=(2αα^T+ββ^T)α=2α，Aβ=(2αα^T+ββ^T)β=β，于是λ₁=2，λ₂=1是矩阵A的特征值，又r(A)=r(2αα^T+ββ^T)≤r(2αα^T)+r(ββ^T)≤2．所以λ₃=0是A的另一特征值，故f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²。

解析

转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/nv34777K

考研数学二

相关试题推荐

证明：r(A)=r(ATA)．
设η为非零向量，A=η为方程组AX=0的解，则a=________，方程组的通解为________.
设A，B为n阶矩阵，且r(A)+r(B)＜n．证明：A，B有公共的特征向量．
设A=方程组AX=β有解但不唯一．(1)求a；(2)求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角阵；(3)求正交矩阵Q。使得QTAQ为对角阵．
设λ1，λ2，λ3是三阶矩阵A的三个不同特征值，α1，α2，α3分别是属于特征值λ1，λ2，λ3的特征向量，若α1，A(α1+α2)，A2(α1+α2+α3)线性无关，则λ1，λ2，λ3满足________．
三元二次型f=XTAX经过正交变换化为标准形f=y12+y22-2y32，且A*+2E的非零特征值对应的特征向量为α1=求此二次型．
设P为可逆矩阵，A=PTP．证明：A是正定矩阵．
设y=f(x)=，(Ⅰ)讨论f(x)在x=0处的连续性；(Ⅱ)求f(x)的极值点与极值。
设二次型f(x1，x2，x3)＝XTAX经过正交变换化为标准形f＝2y12－y22－y32，又A*α＝α，其中α＝(1，1，﹣1)T．(Ⅰ)求矩阵A；(Ⅱ)求正交矩阵Q，使得经过正交变换X＝QY，二次型f(x1，x2，x3)＝XTAX化为标准形．
微分方程(y2-6x)y’+2y=0(y≥1)满足y(0)=1的解为________．

随机试题

交换积分次序
诗句“海内存知己，天涯若比邻”的作者是
A．外伤性脱位B．病理性脱位C．完全性脱位D．先天性脱位E．习惯性脱位髋关节结核引起
A．严格控制钠、水的入量B．用脱水剂C．用强利尿剂D．用速效强心剂E．鼓励多饮水泌尿道感染时的处理应
下列行为不违反消费者权益保护法的是(　　)。
(2009年)升高温度可以增加反应速率，主要是因为()。
风险分析方法包括()。
新学期伊始，高一新生王明领到了历史课本。除了《中外历史纲要》外，王明还领到了历史地图册、填图册等。从历史教材的定义上来看，王明领到的历史地图册、填图册属于()。
下列做法符合劳动合同法的是()。
由计算机、操作系统、DBMS、数据库、应用程序及用户等组成的一个整体称为______。

最新回复(0)

设二次型f(x1，x2，x3) =2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．

考研数学二

证明：r(A)=r(ATA)．

设η为非零向量，A=η为方程组AX=0的解，则a=________，方程组的通解为________.

设A，B为n阶矩阵，且r(A)+r(B)＜n．证明：A，B有公共的特征向量．

设A=方程组AX=β有解但不唯一．(1)求a；(2)求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角阵；(3)求正交矩阵Q。使得QTAQ为对角阵．

设λ1，λ2，λ3是三阶矩阵A的三个不同特征值，α1，α2，α3分别是属于特征值λ1，λ2，λ3的特征向量，若α1，A(α1+α2)，A2(α1+α2+α3)线性无关，则λ1，λ2，λ3满足________．

三元二次型f=XTAX经过正交变换化为标准形f=y12+y22-2y32，且A*+2E的非零特征值对应的特征向量为α1=求此二次型．

设P为可逆矩阵，A=PTP．证明：A是正定矩阵．

设y=f(x)=，(Ⅰ)讨论f(x)在x=0处的连续性；(Ⅱ)求f(x)的极值点与极值。

设二次型f(x1，x2，x3)＝XTAX经过正交变换化为标准形f＝2y12－y22－y32，又A*α＝α，其中α＝(1，1，﹣1)T．(Ⅰ)求矩阵A；(Ⅱ)求正交矩阵Q，使得经过正交变换X＝QY，二次型f(x1，x2，x3)＝XTAX化为标准形．

微分方程(y2-6x)y’+2y=0(y≥1)满足y(0)=1的解为________．

交换积分次序

诗句“海内存知己，天涯若比邻”的作者是

A．外伤性脱位B．病理性脱位C．完全性脱位D．先天性脱位E．习惯性脱位髋关节结核引起

A．严格控制钠、水的入量B．用脱水剂C．用强利尿剂D．用速效强心剂E．鼓励多饮水泌尿道感染时的处理应

下列行为不违反消费者权益保护法的是( )。

(2009年)升高温度可以增加反应速率，主要是因为()。

风险分析方法包括()。

新学期伊始，高一新生王明领到了历史课本。除了《中外历史纲要》外，王明还领到了历史地图册、填图册等。从历史教材的定义上来看，王明领到的历史地图册、填图册属于()。

下列做法符合劳动合同法的是()。

由计算机、操作系统、DBMS、数据库、应用程序及用户等组成的一个整体称为______。

设二次型f(x1，x2，x3) =2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．

设η为非零向量，A=η为方程组AX=0的解，则a=，方程组的通解为.

下列行为不违反消费者权益保护法的是(　　)。