(2002年试题，一)已知实二次型f(x1，x2，x3)=a(x12+x22+x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3经正交变换x=Py可化成标准形f=6y12，则a=______________．

admin2013-12-27 163

问题 (2002年试题，一)已知实二次型f(x₁，x₂，x₃)=a(x₁²+x₂²+x₃²)+4x₁x₂+4x₁x₃+4x₂x₃经正交变换x=Py可化成标准形f=6y₁²，则a=______________．

选项

答案由题设，原二次型的标准型为f=6y₁²，则二次型相应矩阵的秩等于1，且相应特征值为6，0，0，设原二次型的相应矩阵为A，则[*]当a≠2时，可化为[*]此时rA≥2；当a=2时，可化为[*]此时rA=1．由此得出a=2．解析二;因为二次型经正交变换化为标准形时，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵的特征值．即6，0，0是矩阵A的特征值．又∑α_ij=∑λ_ij故a+a+a=6+0+0，即得a=2．解析三依题设知，二次型f所对应的实对称矩阵的特征值为6，0，0．又实对称矩阵[*]其特征多项式[*]故有a+4=6，a一2=0．即得a=2．解析四;因A，B为相似矩阵，对应特征多项式相同，即｜λE一A｜=｜λE一B｜故而有[*]即[λ一(a+4)][λ一(a一2)]²=λ³一6λ²λ³一3aλ²+3(a²一4)λ一(a+4)(a一2)²=λ³一6λ²由同次幂的系数相等，得a=2．

解析

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考研数学一

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(2002年试题，一)已知实二次型f(x1，x2，x3)=a(x12+x22+x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3经正交变换x=Py可化成标准形f=6y12，则a=______________．

考研数学一

已知向量组A：α1=(0，1，2，3)T，α2=(3，0，1，2)T，α3=(2，3，0，1)T；B：β1=(2，1，1，2)T，β2=(0，一2，1，1)T，β3=(4，4，1，3)T．试证B组能由A组线性表示，但A组不能由B组线性表示．

设f(x)在[0，1]上二阶可导，且｜f(x)｜≤a，｜f”(x)｜≤b，其中a，b为非负常数，证明对任意x∈(0，1)，有

证明：当0＜x＜π/2时，

设y=y(x)是由方程2y3-2y2+2xy-x2=1所确定的函数，求y=y(x)的极值．

设非齐次线性方程组Ax=β的通解为x=k1(1，0，0，1)T+k2(2，1，0，1)T+(1，0，1，2)T，其中k1，k2为任意常数．A=(α1，α2，α3，α4)，则()

设a1，a2线性相关，b1，b2也线性相关，问a1+b1，a2+b2是否一定线性相关?试举例说明之．

设实二次型f(x1，x2，x3)=xTAx经正交变换化成的标准形为f=2y12-y22-y32，A是A的伴随矩阵，且向量α=[1，1，-1]T满足Aα=α，则二次型f(x1，x2，x3)=________．

一半径为R的球沉入水中，球面顶部正好与水面相切，球的密度为1，求将球从水中取出所做的功．

位于上半平面的上凹曲线y=y(x)过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(x，y)处的曲率与及1+y’2之积成反比，比例系数为，求y=y(x)．

试求函数f(x，y)=4x2-6x+3y+1在平面区域D={(x，y)｜x2+y2≤a2，a＞0)上的平均值．

从违法行为的要素来看，判断行为是否违法的关键要素是该行为有故意或者过失的过错。()

Theyfinallycametoa______thattheywouldeatittogether.

此病人最可能的诊断是此时可诊断为

设计方项目管理的目标是(　　)。

根据公司法律制度的规定，某股份有限公司董事会由9名董事组成，下列情形中，能使董事会决议得以顺利通过的有()。

用一个饼铛烙煎饼，每次饼铛上最多只能同时放两个煎饼，煎熟一个煎饼需要2分钟的时间，其中每煎熟一面需要1分钟。如果需要煎熟15个煎饼，至少需要()分钟。

《中华人民共和国土地管理法》第1条规定，为了加强土地管理，维护土地的社会主义公有制，保护开发土地资源，合理利用土地，()，促进社会经济的可持续发展，根据宪法，制定本法。

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设f(x)在[0，1]上二阶可导，且｜f(x)｜≤a，｜f”(x)｜≤b，其中a，b为非负常数，证明对任意x∈(0，1)，有

证明：当0＜x＜π/2时，

设y=y(x)是由方程2y3-2y2+2xy-x2=1所确定的函数，求y=y(x)的极值．

设非齐次线性方程组Ax=β的通解为x=k1(1，0，0，1)T+k2(2，1，0，1)T+(1，0，1，2)T，其中k1，k2为任意常数．A=(α1，α2，α3，α4)，则()

设a1，a2线性相关，b1，b2也线性相关，问a1+b1，a2+b2是否一定线性相关?试举例说明之．

设实二次型f(x1，x2，x3)=xTAx经正交变换化成的标准形为f=2y12-y22-y32，A*是A的伴随矩阵，且向量α=[1，1，-1]T满足A*α=α，则二次型f(x1，x2，x3)=________．

一半径为R的球沉入水中，球面顶部正好与水面相切，球的密度为1，求将球从水中取出所做的功．

位于上半平面的上凹曲线y=y(x)过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(x，y)处的曲率与及1+y’2之积成反比，比例系数为，求y=y(x)．

试求函数f(x，y)=4x2-6x+3y+1在平面区域D={(x，y)｜x2+y2≤a2，a＞0)上的平均值．

从违法行为的要素来看，判断行为是否违法的关键要素是该行为有故意或者过失的过错。()

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根据公司法律制度的规定，某股份有限公司董事会由9名董事组成，下列情形中，能使董事会决议得以顺利通过的有()。

用一个饼铛烙煎饼，每次饼铛上最多只能同时放两个煎饼，煎熟一个煎饼需要2分钟的时间，其中每煎熟一面需要1分钟。如果需要煎熟15个煎饼，至少需要()分钟。

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