设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX，tr(A)=1，又B=且AB=O． (1)求正交矩阵Q，使得在正交变换X=QY下二次型化为标准形． (2)求矩阵A．

admin2019-08-28 71

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX，tr(A)=1，又B=

且AB=O．
(1)求正交矩阵Q，使得在正交变换X=QY下二次型化为标准形．
(2)求矩阵A．

选项

答案(1)由AB=O得[*]=0，即α₁=[*]，α₂=[*]为λ=0的两个线性无关的特征向量，从而λ=0为至少二重特征值，又由tr(A)=1得λ₃=1，即λ₁=λ₂=0，λ₃=1．令λ₃=1对应的特征向量为α₃=[*] 因为A^T=A，所以 [*] 解得λ₃=1对应的线性无关的特征向量为α₃=[*] 令γ₁=[*]，γ₂=[*]，γ₃=[*]，所求的正交矩阵为[*] 且X^tAX[*]y₃²． (2)由 [*]

解析

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考研数学三

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