2. 考研
  3. 已知函数f(x)在[0，]上连续，在(0，)内是函数的一个原函数，且f(0)=0． (Ⅰ)求f(x)在区间[0，]上的平均值； (Ⅱ)证明f(x)在区间(0，)内存在唯一零点．

已知函数f(x)在[0，]上连续，在(0，)内是函数的一个原函数，且f(0)=0． (Ⅰ)求f(x)在区间[0，]上的平均值； (Ⅱ)证明f(x)在区间(0，)内存在唯一零点．

admin2016-03-15  103
问题 已知函数f(x)在[0，]上连续，在(0，)内是函数的一个原函数，且f(0)=0．
(Ⅰ)求f(x)在区间[0，]上的平均值；
(Ⅱ)证明f(x)在区间(0，)内存在唯一零点．
选项
答案(I)f(x)在区间[0，[*]]上的平均值 [*] (Ⅱ)由题意，得[*](x)=[*]． 当00∈[0，[*]]，使得f(x0)=[*]>0，由于当x∈(0，[*]]时，f(x) <0，所以x0∈([*]] 根据连续函数介值定理，存在ξ∈([*]，x0)[*]([*])，使得f(ξ)=0．又因为当[*]0，所以f(x)在([*])内至多只有一个零点．
解析
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考研数学二

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