2. 考研
  3. 设α1，α2，…，αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2β2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+t2α1，其中t1，t2为实常数．试问t1，t2满足什么关系时，β1，β2，…，βs也为Ax=0的一个基础解系．

设α1，α2，…，αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2β2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+t2α1，其中t1，t2为实常数．试问t1，t2满足什么关系时，β1，β2，…，βs也为Ax=0的一个基础解系．

admin2018-04-15  82
问题 设α1，α2，…，αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2β2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+t2α1，其中t1，t2为实常数．试问t1，t2满足什么关系时，β1，β2，…，βs也为Ax=0的一个基础解系．
选项
答案由Aβ1=A(t1α1+t2α2)=t1Aα1+t2Aα2=0+0=0，知β1为Ax=0的解，同理可知β2，β3，…，βs均为Ax=0的解．已知Ax=0的基础解系含s个向量，故Ax=0的任何s个线性无关的解都可作为Ax=0的基础解系．因此β1，β2，…，βs为Ax=0的基础解系，当且仅当β1，β2，…，βs线性无关． 设有一组数k1，k2，…，ks，使得 k1β1+k2β2+…+ksβs=0 即(t1k1+t2k2)α1+(t2k1+t1k2)α2+…+(t2ks—1+t1ks)αs=0， 由于α1，α2，…，αs线性无关，有 [*] (*) 上面齐次线性方程组的系数行列式为 [*] 故当且仅当t1s+(一1)I+st2s≠1时，即当s为偶数，t1≠±t2；s为奇数，t1≠一t2时，齐次线性方程组(*)只有零解，β1，β2，…，βs线性无关，从而可作为Ax=0的基础解系．
解析 本题综合考查齐次线性方程组的基础解系的概念及其只有零解的条件，向量组线性相关性的概念及其判定．注意本题判定β1，β2，…，βs的线性相关性，属于一种常见题型．
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