2. 考研
  3. 设函数f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且满足 f(1)＝kχ1－χf(χ)dχ (k＞1)， 证明至少存在一点ξ∈(0，1)，使得f′(ξ)＝(1－ξ－1)f(ξ)．

设函数f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且满足 f(1)＝kχ1－χf(χ)dχ (k＞1)， 证明至少存在一点ξ∈(0，1)，使得f′(ξ)＝(1－ξ－1)f(ξ)．

admin2018-06-12  59
问题 设函数f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且满足
    f(1)＝kχ1－χf(χ)dχ    (k＞1)，
    证明至少存在一点ξ∈(0，1)，使得f′(ξ)＝(1－ξ－1)f(ξ)．
选项
答案令φ(χ)＝χe1－χf(χ)，于是，φ(χ)在[0，1]上可导，且 φ′(χ)＝e1－χ[f(χ)－χf(χ)＋χf′(χ)]＝χe1－χ[f′(χ)－(1－χ-1)f(χ)]，[*]χ∈(0，1)． 又由题设和积分中值定理知，存在η∈[0，[*]]，使得 φ(1)＝f(1)＝k[*]φ(χ)dχ＝φ(η)， 从而函数φ(χ)在[η，1]上满足罗尔定理的全部条件，所以[*]ξ∈(η，1)[*](0，1)，使得 φ′(ξ)＝ξe1－ξ[f′(ξ)－(1－ξ－1)f(ξ)]＝0，即f′(ξ)＝(1－ξ-1)f(ξ)．
解析
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考研数学一

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