设函数f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且满足 f(1)＝kχ1－χf(χ)dχ (k＞1)，证明至少存在一点ξ∈(0，1)，使得f′(ξ)＝(1－ξ－1)f(ξ)．

admin2018-06-12 77

问题设函数f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且满足
f(1)＝k

χ^1－χf(χ)dχ (k＞1)，
证明至少存在一点ξ∈(0，1)，使得f′(ξ)＝(1－ξ^－1)f(ξ)．

选项

答案令φ(χ)＝χe^1－χf(χ)，于是，φ(χ)在[0，1]上可导，且 φ′(χ)＝e^1－χ[f(χ)－χf(χ)＋χf′(χ)]＝χe^1－χ[f′(χ)－(1－χ^-1)f(χ)]，[*]χ∈(0，1)．又由题设和积分中值定理知，存在η∈[0，[*]]，使得 φ(1)＝f(1)＝k[*]φ(χ)dχ＝φ(η)，从而函数φ(χ)在[η，1]上满足罗尔定理的全部条件，所以[*]ξ∈(η，1)[*](0，1)，使得 φ′(ξ)＝ξe^1－ξ[f′(ξ)－(1－ξ^－1)f(ξ)]＝0，即f′(ξ)＝(1－ξ^-1)f(ξ)．

解析

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考研数学一

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设函数f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且满足 f(1)＝kχ1－χf(χ)dχ (k＞1)，证明至少存在一点ξ∈(0，1)，使得f′(ξ)＝(1－ξ－1)f(ξ)．

考研数学一

设矩阵A的伴随矩阵A*＝，则A＝_______．

已知线性方程组有无穷多解，而A是3阶矩阵，且分别是A关于特征值1，－1，0的三个特征向量，求矩阵A．

已知方程组有解，证明：方程组无解．

设α，β为3维列向量，矩阵A＝ααT＋ββT，其中αT，βT分别为α，β的转置．证明：r(A)≤2．

求函数g(χ)＝eχ＋6aχ的零点个数，其中a＜0为参数．

设函数f(χ)在χ＝1的某邻域内连续，且有＝－4．(Ⅰ)求f(1)，及f′(1)；(Ⅱ)若又设f〞(1)存在，求f〞(1)．

设函数f(x)在(a，b)内存在二阶导数，且f’’(x)＜0．试证：若x1，x2，…，xn∈(a，b)，且xi＜xi+1(i=1，2，…，，n-1)，则其中常数ki＞0(i=1，2，…，n)且

设函数f(x)在区间[a，+∞)内连续，且当x＞a时，f’(x)＞l＞0，其中l为常数．若f(a)＜0，则在区间内方程f(x)=0的实根个数为()

设y(x)是方程y(4)-y’’=0的解，且当x→0时，y(x)是x的3阶无穷小，求y(x)．

设a＜b，证明：不等式

人类行为是自动自发的，外力可能影响其行为，但无法发动其行为，这表明人们行为特征的

护理慢性肾衰竭患者，最重要的护理措施是()。

尿路梗阻的常见原因是（）

患儿，女，15天。母乳喂养，每天8～10次，体重3．2kg。家长询问小儿室内应保持的湿度，护士告知正确的是

右心衰竭时水肿形成的主要机制是

下列关于税法的特点，表述错误的是()。

2016年1月（）在新疆举行，这是该运动会首次在新疆举行。

Accordingtothepassage,whenpeoplegrowfondofoneparticularbrandofaproduct,itssaleswill______.Theauthormentions

报表的数据源可以是()。

计算两个列表ls和lt对应元素乘积的和(即向量积)，补充“PY202．py”文件。ls＝[111，222，333，444，555，666，777，888，999]lt＝[999，777，555，333，111，888，666，444，222]试题程序

设函数f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且满足 f(1)＝kχ1－χf(χ)dχ (k＞1)， 证明至少存在一点ξ∈(0，1)，使得f′(ξ)＝(1－ξ－1)f(ξ)．

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设矩阵A的伴随矩阵A*＝，则A＝_______．

已知线性方程组有无穷多解，而A是3阶矩阵，且分别是A关于特征值1，－1，0的三个特征向量，求矩阵A．

已知方程组有解，证明：方程组无解．

设α，β为3维列向量，矩阵A＝ααT＋ββT，其中αT，βT分别为α，β的转置．证明：r(A)≤2．

求函数g(χ)＝eχ＋6aχ的零点个数，其中a＜0为参数．

设函数f(χ)在χ＝1的某邻域内连续，且有＝－4．(Ⅰ)求f(1)，及f′(1)；(Ⅱ)若又设f〞(1)存在，求f〞(1)．

设函数f(x)在(a，b)内存在二阶导数，且f’’(x)＜0．试证：若x1，x2，…，xn∈(a，b)，且xi＜xi+1(i=1，2，…，，n-1)，则其中常数ki＞0(i=1，2，…，n)且

设函数f(x)在区间[a，+∞)内连续，且当x＞a时，f’(x)＞l＞0，其中l为常数．若f(a)＜0，则在区间内方程f(x)=0的实根个数为()

设y(x)是方程y(4)-y’’=0的解，且当x→0时，y(x)是x的3阶无穷小，求y(x)．

设a＜b，证明：不等式

人类行为是自动自发的，外力可能影响其行为，但无法发动其行为，这表明人们行为特征的

护理慢性肾衰竭患者，最重要的护理措施是()。

尿路梗阻的常见原因是（）

患儿，女，15天。母乳喂养，每天8～10次，体重3．2kg。家长询问小儿室内应保持的湿度，护士告知正确的是

右心衰竭时水肿形成的主要机制是

下列关于税法的特点，表述错误的是()。

2016年1月（）在新疆举行，这是该运动会首次在新疆举行。

Accordingtothepassage,whenpeoplegrowfondofoneparticularbrandofaproduct,itssaleswill______.Theauthormentions

报表的数据源可以是()。

计算两个列表ls和lt对应元素乘积的和(即向量积)，补充“PY202．py”文件。ls＝[111，222，333，444，555，666，777，888，999]lt＝[999，777，555，333，111，888，666，444，222]试题程序

设函数f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且满足 f(1)＝kχ1－χf(χ)dχ (k＞1)，证明至少存在一点ξ∈(0，1)，使得f′(ξ)＝(1－ξ－1)f(ξ)．