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设函数f(χ)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足 f(1)=kχ1-χf(χ)dχ (k>1), 证明至少存在一点ξ∈(0,1),使得f′(ξ)=(1-ξ-1)f(ξ).
设函数f(χ)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足 f(1)=kχ1-χf(χ)dχ (k>1), 证明至少存在一点ξ∈(0,1),使得f′(ξ)=(1-ξ-1)f(ξ).
admin
2018-06-12
75
问题
设函数f(χ)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足
f(1)=k
χ
1-χ
f(χ)dχ (k>1),
证明至少存在一点ξ∈(0,1),使得f′(ξ)=(1-ξ
-1
)f(ξ).
选项
答案
令φ(χ)=χe
1-χ
f(χ),于是,φ(χ)在[0,1]上可导,且 φ′(χ)=e
1-χ
[f(χ)-χf(χ)+χf′(χ)]=χe
1-χ
[f′(χ)-(1-χ
-1
)f(χ)],[*]χ∈(0,1). 又由题设和积分中值定理知,存在η∈[0,[*]],使得 φ(1)=f(1)=k[*]φ(χ)dχ=φ(η), 从而函数φ(χ)在[η,1]上满足罗尔定理的全部条件,所以[*]ξ∈(η,1)[*](0,1),使得 φ′(ξ)=ξe
1-ξ
[f′(ξ)-(1-ξ
-1
)f(ξ)]=0,即f′(ξ)=(1-ξ
-1
)f(ξ).
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/hTg4777K
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考研数学一
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