2. 考研
  3. 设A，B为n阶正定矩阵，k＞0，证明kA，Ak，A-1，A*，A+B是正定阵．

设A，B为n阶正定矩阵，k＞0，证明kA，Ak，A-1，A*，A+B是正定阵．

admin2020-09-25  105
问题 设A，B为n阶正定矩阵，k＞0，证明kA，Ak，A-1，A*，A+B是正定阵．
选项
答案设A，B的特征值分别为λ1，λ2，…，λn，μ1，μ2，…，μn． 因为A，B为正定矩阵，所以λi，μj＞0(i=1，2，…，n；j=1，2，…，n)．由特征值性质得： kA的特征值为kλ1，kλ2，…，kλn；Ak的特征值为λ1k，λ2k，…，λnk；A-1的特征值为[*]；A*的特征值为[*] 又因为k＞0可知kA，Ak，A-1，A*的特征值均全为正，所以kA，A-1，A*，Ak均为正定阵． 又由A，B为正定矩阵知，对于任一n维非零向量x，均有xTAx＞0，xTBx＞0，所以xT(A+B)x＞0，所以A+B也是正定阵．
解析
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考研数学三

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