2. 考研
  3. 设α＝(1，－1，α)T，β＝(1，a，2)T，A＝E＋αβT，且λ＝3是矩阵A的特征值，则矩阵A属于特征值λ＝3的特征向量是_______．

设α＝(1，－1，α)T，β＝(1，a，2)T，A＝E＋αβT，且λ＝3是矩阵A的特征值，则矩阵A属于特征值λ＝3的特征向量是_______．

admin2016-05-09  41
问题 设α＝(1，－1，α)T，β＝(1，a，2)T，A＝E＋αβT，且λ＝3是矩阵A的特征值，则矩阵A属于特征值λ＝3的特征向量是_______．
选项
答案k(1，－1，1)T，k≠0
解析 令B＝αβT，因为矩阵B的秩是1，且βTα＝a＋1，由此可知矩阵B的特征值为a＋1，0，0．那么A＝E＋B的特征值为a＋2，1，1．
    因为λ＝3是矩阵A的特征值，因此a＋2＝3，可得a＝1．那么就有
    Bα＝(αβT)α＝α(βTα)＝2α
    α＝(1，－1，1)T是矩阵B属于特征值λ＝2的特征向量，因此也就是矩阵A属于特征值λ＝3的特征向量．
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考研数学一

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