2. 考研
  3. 设函数f(x)可导,且f’(x)＞0,曲线y=f(x)(x≥0)经过坐标原点O,其上任意一点M的切线与x轴交于T，又MP垂直x轴于点P．已知由曲线y=f(x)，直线MP及x轴所围成的面积与△MTP的面积之比为3：2，求满足上述条件的曲线的方程.

设函数f(x)可导,且f’(x)＞0,曲线y=f(x)(x≥0)经过坐标原点O,其上任意一点M的切线与x轴交于T，又MP垂直x轴于点P．已知由曲线y=f(x)，直线MP及x轴所围成的面积与△MTP的面积之比为3：2，求满足上述条件的曲线的方程.

admin2022-09-22  111
问题 设函数f(x)可导,且f’(x)＞0,曲线y=f(x)(x≥0)经过坐标原点O,其上任意一点M的切线与x轴交于T，又MP垂直x轴于点P．已知由曲线y=f(x)，直线MP及x轴所围成的面积与△MTP的面积之比为3：2，求满足上述条件的曲线的方程.
选项
答案设切点M坐标为(x，y)，则过M的切线方程为 Y-y=y’(X-x)． 令Y=0得X=x-[*]．由题意得 [*] 整理并求导得3yy”-2y’=0． 令y’=P，[*]代入上式得 [*] 解得p=C1y2／3， 即y’=C1y2／3． [*]=C1dx，3y1／3=C1x+C2 由y(0)=0得C2=0， 3y1／3=C1x， y=Cx3(C＞0)．
解析
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考研数学二

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