2. 考研
  3. 设α1＝(1，0，－1，0)T，α2＝(0，1，0，a)T，α3＝(1，1，a，－1)T，记A＝(α1，α2，α3)． (Ⅰ)解齐次线性方程组(ATA)x＝0； (Ⅱ)当a，b为何值时，向量组β1＝(1，1，b，a)T，β2＝(1，2，－1，2a)T可由向

设α1＝(1，0，－1，0)T，α2＝(0，1，0，a)T，α3＝(1，1，a，－1)T，记A＝(α1，α2，α3)． (Ⅰ)解齐次线性方程组(ATA)x＝0； (Ⅱ)当a，b为何值时，向量组β1＝(1，1，b，a)T，β2＝(1，2，－1，2a)T可由向

admin2020-10-30  79
问题 设α1＝(1，0，－1，0)T，α2＝(0，1，0，a)T，α3＝(1，1，a，－1)T，记A＝(α1，α2，α3)．
(Ⅰ)解齐次线性方程组(ATA)x＝0；
(Ⅱ)当a，b为何值时，向量组β1＝(1，1，b，a)T，β2＝(1，2，－1，2a)T可由向量组α1，α2，α3线性表示?并求出一般表示式．
选项
答案(Ⅰ)由于(ATA)x＝0与Ax＝0同解，故只需求Ax＝0的解即可．对A实施初等行变换，得[*] 当a≠－1时，R(A)＝3，Ax＝0只有零解； 当a＝－1时，R(A)＝2＜3，Ax＝0有非零解，其同解方程组为＝[*] 故Ax＝0的通解为＝[*] 其中k为任意常数． (Ⅱ)β1，β2可由α1，α2，α3线性表示 [*]矩阵方程(α1，α2，α3)X＝(β1，β2)有解 [*]R(α1，α2，α3)＝R(α1，α2，α3[*]β1，β2)． 对(α1，α2，α3[*]β1，β2)实施初等行变换，得[*] 当b＝－1时，R(α1，α2，α3)＝R(α1，α2，α3[*]β1，β2)，β1，β2可由α1，α2，α3线性表示． 当a≠－1时，R(α1，α2，α3)＝R(α1，α2，α3[*]，β1，β2)＝3， [*] 此时，β1＝α1＋α2，β2＝α1＋2α2； 当a＝－1时，R(α1，α2，α3)＝R(α1，α2，α3[*]β1，β2)＝2， 此时，β1＝(1－ι1)α1＋(1－ι1)α2＋ι1α3，其中ι1为任意常数， β2＝(1－ι2)α1＋(2－ι2)α2＋ι2α3，其中ι2为任意常数．
解析
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考研数学三

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