2. 考研
  3. (2012年)已知函数f(x)满足方程f"(x)+f’(x)一2f(x)=0及f"(x)+f(x)=2ex。 (I)求f(x)的表达式； (Ⅱ)求曲线y=f(x2)∫0xf(一t2)dt的拐点。

(2012年)已知函数f(x)满足方程f"(x)+f’(x)一2f(x)=0及f"(x)+f(x)=2ex。 (I)求f(x)的表达式； (Ⅱ)求曲线y=f(x2)∫0xf(一t2)dt的拐点。

admin2019-03-19  105
问题 (2012年)已知函数f(x)满足方程f"(x)+f’(x)一2f(x)=0及f"(x)+f(x)=2ex。
    (I)求f(x)的表达式；
    (Ⅱ)求曲线y=f(x2)∫0xf(一t2)dt的拐点。
选项
答案(I)特征方程为r2+r一2=0，特征根为r1=1，r2=一2，因此齐次微分方程f"(x)+f’(x)一2f(x)=0的通解为f(x)=C1ex+C2e-2x。 再由f"(x)+f(x)=2ex，得2C1ex+5C2e-2x=2ex，可知C1=1，C2=0。故f(x)=ex。 [*] 令y"=0，原式可得x=0。 为了说明x=0是y"=0唯一的解，需讨论y"在x＞0和x＜0时的符号。 [*] 故x=0是y"=0唯一的解。 同时，由上述讨论可知曲线y=f(x2)∫0xf(一t2)dt在x=0左右两边的凹凸性相反，可知点(0，0)是曲线y=f(x2)∫0xf(一t2)dt唯一的拐点。
解析
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考研数学三

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