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  3. (2018年)设数列{xn}满足：x1＞0，xnexn+1=exn一1(n=1，2，…)．证明{xn}收敛，并求．

(2018年)设数列{xn}满足：x1＞0，xnexn+1=exn一1(n=1，2，…)．证明{xn}收敛，并求．

admin2018-07-24  274
问题 (2018年)设数列{xn}满足：x1＞0，xnexn+1=exn一1(n=1，2，…)．证明{xn}收敛，并求．
选项
答案由于x1≠0，所以 [*] 根据微分中值定理，存在ξ∈(0，x1)，使得 [*] 所以ex2=eξ，故0＜x2＜x1． 假设0＜xn+1＜xn，则 [*] 所以0＜xn+2＜xn+1． 故{xn}是单调减少的数列，且有下界，从而{xn}收敛． 设 [*] 得aea=ea一1．易知a=0为其解． 令f(x)=xex一ex+1，则f(x)=xex． 当x＞0时，f’(x)＞0，函数f(x)在[0，+∞)上单调增加，所以a=0是方程aea=ea一1在[0，+∞) 上的唯一解，故 [*]
解析
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考研数学三

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