设f(x)在[0，a]上有一阶连续导数，证明至少存在一点ξ∈[0，a]，使得 ∫0af(x)dx=af(0)+f’(ξ)。

admin2019-08-12 121

问题设f(x)在[0，a]上有一阶连续导数，证明至少存在一点ξ∈[0，a]，使得
∫₀^af(x)dx=af(0)+

f^’(ξ)。

选项

答案由已知 ∫₀^af(x)dx=∫₀^af(x)d(x－a) =[(x一a)f(x)]｜₀^a一∫₀^a(x一a)f^’(x)dx =af(0)一∫₀^a(x一a)f^’(x)dx。因为f^’(x)连续，所以f^’(x)在[0，a]上存在最小值m和最大值M，则 m(a一x)≤(a一x)f^’(x)≤M(a一x)，故[*]≤∫₀^a(a一x)f^’(x)dx≤[*]，再由介值定理可知，至少存在一点ξ∈[0，a]，使得 ∫₀^a(a－x)f^’(x)dx=[*]f^’(x)，于是∫₀^af(x)dx=af(0)＋[*]f^’(ξ)。

解析

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