2. 考研
  3. 设A，B均为n阶矩阵，且AB=A+B，则 (1)若A可逆，则B可逆 (2)若B可逆，则A+B可逆 (3)若A+B可逆，则AB可逆 (4)A—E恒可逆 上述命题中，正确的命题共有( )

设A，B均为n阶矩阵，且AB=A+B，则 (1)若A可逆，则B可逆 (2)若B可逆，则A+B可逆 (3)若A+B可逆，则AB可逆 (4)A—E恒可逆 上述命题中，正确的命题共有( )

admin2019-02-01  61
问题 设A，B均为n阶矩阵，且AB=A+B，则
(1)若A可逆，则B可逆
(2)若B可逆，则A+B可逆
(3)若A+B可逆，则AB可逆
(4)A—E恒可逆
上述命题中，正确的命题共有(    )
选项 A、1个．
B、2个．
C、3个．
D、4个．
答案D
解析 由AB=A+B，有(A—E)B=A．若A可逆，则｜(A—E)B=｜｜A—E｜×｜B｜=｜A｜≠0，知｜B｜≠0．即矩阵B可逆，从而命题(1)正确．应用命题(1)，由B可逆可得出A可逆，从而AB可逆，那么A+B=AB也可逆，故命题 (2)正确．因为AB=A+B，若A+B可逆，则有AB可逆，即命题(3)正确．对于命题(4)，用分组因式分解，即AB一A—B+E=E，则有(A—E)(B一E)=E，所以得A—E恒可逆，命题(4)正确．所以应选D．
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考研数学二

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