设y=f(x)在(一1，1)内具有二阶连续导数且f"(x)≠0，试证：对于(一1，1)内的任一x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使f(x)=f(0)+xf’(θ(x)x)成立；

admin2015-09-10 54

问题设y=f(x)在(一1，1)内具有二阶连续导数且f"(x)≠0，试证：
对于(一1，1)内的任一x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使f(x)=f(0)+xf’(θ(x)x)成立；

选项

答案任给非零x∈(一1，1)，由拉格朗日中值定理得 f(x)=f(0)+xf’(θ(x)x) (0＜θ(x)＜1) 因为f"(x)在(一1，1)内连续且f"(x)≠0，所以f"(x)在(一1，1)内不变号，不妨设f"(x)＞0，则f’(x)在(一1，1)内严格单增，故θ(x)唯一．

解析

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考研数学一

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