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  3. 设有微分方程y’-2y=φ(x)，其中φ(x)=试求：在(-∞，+∞)内的连续函数y=y(x)，使之在(-∞，1)和(1，+∞)内都满足所给方程，且满足条件y(0)=0．

设有微分方程y’-2y=φ(x)，其中φ(x)=试求：在(-∞，+∞)内的连续函数y=y(x)，使之在(-∞，1)和(1，+∞)内都满足所给方程，且满足条件y(0)=0．

admin2018-06-27  113
问题 设有微分方程y’-2y=φ(x)，其中φ(x)=试求：在(-∞，+∞)内的连续函数y=y(x)，使之在(-∞，1)和(1，+∞)内都满足所给方程，且满足条件y(0)=0．
选项
答案这是一个一阶线性非齐次微分方程，由于其自由项为分段函数，所以应分段求解，并且为保持其连续性，还应将其粘合在一起． 当x＜1时，方程y’-2y=2的两边同乘e-2x得(ye-2x)’=2e-2x，积分得通解y=C1e2x-1； 而当x＞1时，方程y’-2y=0的通解为y=C2e2x． 为保持其在x=1处的连续性，应使C1e2-1=C2e2，即C2=C1-e-2，这说明方程的通解为 [*] 再根据初始条件，即得C1=1，即所求特解为 [*]
解析
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考研数学二

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