设向量α1，α2，...，αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．

admin2017-08-28 66

问题设向量α₁，α₂，...，α_t是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α₁，β+α₂，…，β+α_t线性无关．

选项

答案(定义法) 若有一组数k,k₁，k₂，...，k_t，使得 kβ+k₁(β+α₁)+k₂(β+α₂)+…k_t(β+α_t)=0， ① 则因α₁，α₂，...，α_t是Ax=0的解，知Aα_i=0(i=1，2，…，t)，用A左

解析 (用秩) 经初等变换向量组的秩不变．把第1列的-1倍分别加至其余各列，有
(β，β+α₁，β+α₂，…，β+α_t)→(β，α₁，α₂，...，α_t)．
因此 r(β，β+α₁，β+α₂，…，β+α_t)=r(β,α₁，α₂，...，α_t)．
由于α₁，α₂，...，α_t是基础解系，它们是线性无关的，秩r(α₁，α₂，...，α_t)=t，又β必不能由α₁，α₂，...，α_t线性表出(否则Aft=0)，故r(α₁，α₂，...，α_t,β)=t+1．
所以 r(β，β+α₁，β+α₂，…，β+α_t)=t+1．
即向量组β，β+α₁，β+α₂，…，β+α_t线性无关．

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设向量α1，α2，...，αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．

考研数学一

设齐次线性方程组有基础解系β1=[b11,b12,b13,b14]T，β2=[b21，b22，b23，b24]T，记α1=[α11,α12,α13,α14]T，α2=[α21,α22,α23,α24]T．证明：向量组α1,α2，β3，β4线性无关．

(2001年试题，一)设矩阵A满足A2+A一4E=0，其中E为单位矩阵，则(A—E)-1=_____________.

设曲线L位于xOy平面的第一象限内，L上任意一点M处的切线与y轴总相交，交点为A，已知｜MA｜=｜OA｜，且L经过点(3/2，3/2)，求L的方程．

(Ⅰ)证明：若a1，a2，a3，a4两两不相等，则此线性方程组无解；(Ⅱ)设a1=a3=k，a2=a4=-k(k≠0)，且已知β1，β2是该方程组的两个解，其中，写出此方程组的通解．

求下列向量组的一个极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组线性表示：α1=(1，3，2，0)，α2=(7，0，14，3)，α3=(2，-1，0，1)，α4=(5，1，6，2)，α4=(2，-1，4，1)．

设A=E-ξξT，其中E为n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．ξTξ=1时，A是不可逆矩阵．

计算曲面积分(1一xy)dydz+(x+1)ydzdx一4yz2dxdy，其中∑是弧段(1≤x≤3)绕x轴旋转一周所得的旋转曲面，∑上任一点的法向量与x轴正向夹角大于

设，过L上一点作切线，求切线与抛物线所围成面积的最小值．

可使心衰病情恶化的因素有

下列哪项中，符合厚朴功效的有

外商投资项目的申请人，凭()的核准文件，依法办理土地使用、城市规划等方面的手续。

施工单位的项目施工质量计划或施工组织设计的编制与内部审批，应根据企业质量管理程序性义件规定的权限和流程进行，通常是由()主持编制，报企业组织管理层批准。

一列简谐横波沿x轴传播，周期为Tot=0时刻的波形如图8所示。此时平衡位置位于x=3m处的质点正在向上运动，若a、b两质点平衡位置的坐标分别为xo=2.5m，xb=5．5m，则()。

法官判案要能理性、客观，而不能受情绪和个人偏好的影响。这是对其思维()的要求。

西周时期买卖兵器、珍异等小件物品使用的契券，称为()

进程是具有一定独立功能的程序在一个数据集合上的一次动态执行过程。进程有5种不同的状态，下面的进程状态转换图中，问号(?)所指的状态应为【　　】。

设向量α1，α2，...，αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．

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设齐次线性方程组有基础解系β1=[b11,b12,b13,b14]T，β2=[b21，b22，b23，b24]T，记α1=[α11,α12,α13,α14]T，α2=[α21,α22,α23,α24]T．证明：向量组α1,α2，β3，β4线性无关．

(2001年试题，一)设矩阵A满足A2+A一4E=0，其中E为单位矩阵，则(A—E)-1=_____________.

设曲线L位于xOy平面的第一象限内，L上任意一点M处的切线与y轴总相交，交点为A，已知｜MA｜=｜OA｜，且L经过点(3/2，3/2)，求L的方程．

(Ⅰ)证明：若a1，a2，a3，a4两两不相等，则此线性方程组无解；(Ⅱ)设a1=a3=k，a2=a4=-k(k≠0)，且已知β1，β2是该方程组的两个解，其中，写出此方程组的通解．

求下列向量组的一个极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组线性表示：α1=(1，3，2，0)，α2=(7，0，14，3)，α3=(2，-1，0，1)，α4=(5，1，6，2)，α4=(2，-1，4，1)．

设A=E-ξξT，其中E为n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．ξTξ=1时，A是不可逆矩阵．

计算曲面积分(1一xy)dydz+(x+1)ydzdx一4yz2dxdy，其中∑是弧段(1≤x≤3)绕x轴旋转一周所得的旋转曲面，∑上任一点的法向量与x轴正向夹角大于

设，过L上一点作切线，求切线与抛物线所围成面积的最小值．

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一列简谐横波沿x轴传播，周期为Tot=0时刻的波形如图8所示。此时平衡位置位于x=3m处的质点正在向上运动，若a、b两质点平衡位置的坐标分别为xo=2.5m，xb=5．5m，则()。

法官判案要能理性、客观，而不能受情绪和个人偏好的影响。这是对其思维()的要求。

西周时期买卖兵器、珍异等小件物品使用的契券，称为()

进程是具有一定独立功能的程序在一个数据集合上的一次动态执行过程。进程有5种不同的状态，下面的进程状态转换图中，问号(?)所指的状态应为【 】。

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