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(2001年试题，九)设α1，α2……αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，β3=t1α1+t2α1，其中t1，t2为实常数，试问t1，t2满足什么关系时，β1，β2，…，βs，也为Ax=0的一个基
(2001年试题，九)设α1，α2……αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，β3=t1α1+t2α1，其中t1，t2为实常数，试问t1，t2满足什么关系时，β1，β2，…，βs，也为Ax=0的一个基
admin
2014-05-20
78
问题
(2001年试题，九)设α
1
，α
2
……α
s
为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β
1
=t
1
α
1
+t
2
α
2
，β
2
=t
1
α
2
+t
2
α
3
，…，β
3
=t
1
α
1
+t
2
α
1
，其中t
1
，t
2
为实常数，试问t
1
，t
2
满足什么关系时，β
1
，β
2
，…，β
s
，也为Ax=0的一个基础解系．
选项
答案
根据题设β
i
(i=1，2，…，s)是α
1
，α
2
……α
s
的线性组合，因此β
i
(i=l，2，…，s)都是Ax=0的解，即Aβ
i
=0(i=1，2，…，s)题目待求结论要求β
i
(i=1，2，…，s)也是Ax=0的基础解系，结合已知，这等价于要求β
1
β
2
……β
t
，线性无关，于是设c
1
β
1
+c
2
β
2
+…+c
s
β
s
=0将已知β
i
(i=1，2，…，s)由α
i
(i=l，2，…，s)线性表示的已知表达式代入上式并化简得(t
1
c
1
+t
2
c
s
)α
1
+(t
2
c
1
+t
1
c
2
)α
2
+…+(t
2
c
s-1
一1+t
1
c
s
)α
s
=0因为α
1
，α
2
……α
s
是线性无关的，因此得到关于c
1
，c
2
……c
s
的方程组如下[*]只要该方程组只有零解，即可得出t
1
,t
2
应满足的关系，该方程组行列式为[*]因此当s为偶数时，｜t
1
｜≠｜t
2
｜；当s为奇数时，t
1
≠一t
2
，有β
1
β
2
……β
s
也为Ax=0的一个基础解系．
解析
本题涉及基础解系的概念和线性无关的证明以及行列式的计算，综合性很强．
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/iy54777K
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考研数学一
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