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  3. 已知fn(x)满足f’n(x)=fn(x)+xn-1ex(n为正整数)，且fn(1)=，求函数项级数之和．

已知fn(x)满足f’n(x)=fn(x)+xn-1ex(n为正整数)，且fn(1)=，求函数项级数之和．

admin2016-07-22  79
问题 已知fn(x)满足f’n(x)=fn(x)+xn-1ex(n为正整数)，且fn(1)=，求函数项级数之和．
选项
答案由题设条件知，函数fn(x)满足一阶线性非齐次微分方程 f’n(x)fn(x)=xn-1ex， 其通解为fn(x)=[*] 由条件fn(1)=[*] 记S(x)=[*]，容易求出其收敛域为[-1，1)，且S(0)=0，当x∈(-1，1)时，求导得 [*] 于是得S(x)=[*] 由S(x)=-ln(1-x)在x=-1点的连续性知，上述和函数在x=-1点也成立．于是，当-1≤x＜1时，有 [*]
解析
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考研数学一

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