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设α1，α2，β1，β2为三维列向量组，且α1，α2与β1，β2都线性无关． (Ⅰ)证明：至少存在一个非零向量可同时由α1，α2和β1，β2线性表示； (Ⅱ)设，求出可由两组向量同时表示的向量．
设α1，α2，β1，β2为三维列向量组，且α1，α2与β1，β2都线性无关． (Ⅰ)证明：至少存在一个非零向量可同时由α1，α2和β1，β2线性表示； (Ⅱ)设，求出可由两组向量同时表示的向量．
admin
2022-04-10
109
问题
设α
1
，α
2
，β
1
，β
2
为三维列向量组，且α
1
，α
2
与β
1
，β
2
都线性无关．
(Ⅰ)证明：至少存在一个非零向量可同时由α
1
，α
2
和β
1
，β
2
线性表示；
(Ⅱ)设
，求出可由两组向量同时表示的向量．
选项
答案
(Ⅰ)因为α
1
，α
2
，β
1
，β
2
线性相关，所以存在不全为零的常数k
1
，k
2
，l
1
，l
2
使得k
1
α
1
+k
2
α
2
+l
1
β
1
+l
2
β
2
=0，或k
1
α
1
+k
2
α
2
=一l
1
β
1
—l
2
β
2
． 令γ=k
1
α
1
+k
2
α
2
=一l
1
β
1
因为α
1
，α
2
与β
1
，β
2
都线性无关，所以k
，k
2
及l
1
，l
2
都不全为零，所以γ≠0． (Ⅱ)令k
1
α
2
+k
2
α
2
+l
1
β
1
+l
2
β
2
=0，[*]则[*]，所以γ=kα
1
—3kα
2
=一kβ
1
+0β
2
．
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/SQR4777K
0
考研数学三
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