2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0．证明：存在c∈(a，b)，使得f(c)=0；存在ξi∈(a，b)(i=1，2)，且ξ1≠ξ2，使得f’(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)；存在ξ∈(a，

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0．证明：存在c∈(a，b)，使得f(c)=0；存在ξi∈(a，b)(i=1，2)，且ξ1≠ξ2，使得f’(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)；存在ξ∈(a，

admin2022-10-09  57
问题 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0．证明：存在c∈(a，b)，使得f(c)=0；存在ξi∈(a，b)(i=1，2)，且ξ1≠ξ2，使得f’(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)；存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=f(ξ)；存在η∈(a，b)，使得f"(η)-3f’(η)+2f(η)=0．
选项
答案令F(x)=∫axf(t)dt，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F’(x)=f(x)．故存在c∈(a，b)，使得∫abf(x)dx=F(b)-F(a)=F’(c)(b-a)=f(c)(b-a)=0，即f(c)=0．令h(x)=exf(x)，因为h(a)=h(c)=h(b)=0，所以由罗尔定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得f’(ξ1)=f’(ξ2)=0，而h’(x)=ex[f’(x)+f(x)]且ex≠0，所以f’(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)．令φ(x)=e-x[f’(x)+f(x)]，φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=e-x[f"(x)-f(x)]且e-x≠0，所以f"(ξ)=f(ξ)．令g(x)=e-xf(x)，g(a)=g(c)=g(b)=0，由罗尔定理，存在η1∈(a，c)，η2∈(c，b)，使得g’(η1)=g’(η2)=0，而g’(x)=e-x[f’(x)-f(x)]且e-x≠0，所以f’(η1)-f(η1)=0,f’(η2)-f(η2)=0．令φ(x)=e-2x[f’(x)-f(x)]，φ(η1)=φ(η2)=0，由罗尔定理，存在η∈(η1，η2)∈(a，b)，使得φ’(η)=0，而φ’(x)=e-2x[f"(x)-3f’(x)+2f(x)]且e-2x≠0，所以f"(η)-3f’(η)+2f(η)=0．
解析
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考研数学三

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