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设有n元二次型 f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn+anx1)2， 其中ai(i=1，2，…，n)为实数．试问当a1，a2，…，an满足何种条件时，二次型f(x1，x2，…，
设有n元二次型 f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn+anx1)2， 其中ai(i=1，2，…，n)为实数．试问当a1，a2，…，an满足何种条件时，二次型f(x1，x2，…，
admin
2019-12-26
73
问题
设有n元二次型
f(x
1
，x
2
，…，x
n
)=(x
1
+a
1
x
2
)
2
+(x
2
+a
2
x
3
)
2
+…+(x
n
+a
n
x
1
)
2
，
其中a
i
(i=1，2，…，n)为实数．试问当a
1
，a
2
，…，a
n
满足何种条件时，二次型f(x
1
，x
2
，…，x
n
)为正定二次型．
选项
答案
由题设知，对任意的实数x
1
，x
2
，…，x
n
，有 f(x
1
，x
2
，…，x
n
)≥0， 其中等号成立当且仅当 [*] 该齐次线性方程组仅有零解的充分必要条件是其系数行列式 [*] 所以当1+(－1)
n+1
1
a
2
…a
n
≠0时，对任意n个不全为零的实数x
1
，x
2
，…，x
n
，都有 f(x
1
，x
2
，…，x
n
)＞0， 即当a
1
a
2
…a
n
≠(－1)
n
时，二次型f(x
1
，x
2
，…，x
n
)为正定二次型．
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/oJD4777K
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考研数学三
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