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设线性无关的函数y1，y2与y3均为二阶非齐次线性微分方程的解，C1和C2是任意常数，则该非齐次线性方程的通解是( )
设线性无关的函数y1，y2与y3均为二阶非齐次线性微分方程的解，C1和C2是任意常数，则该非齐次线性方程的通解是( )
admin
2019-12-26
55
问题
设线性无关的函数y
1
，y
2
与y
3
均为二阶非齐次线性微分方程的解，C
1
和C
2
是任意常数，则该非齐次线性方程的通解是( )
选项
A、C
1
y
1
+C
2
y
2
+y
3
．
B、C
1
y
1
+C
2
y
2
－(C
1
+C
2
)y
3
．
C、C
1
y
1
+C
2
y
2
+(1－C
1
－C
2
)y
3
．
D、C
1
y
1
+C
2
y
2
－(1－C
1
－C
2
)y
3
．
答案
C
解析
如果设该二阶非齐次线性微分方程的形式为
y"+p(x)y′+q(x)y=f(x)．
由题意，y
1
，y
2
，y
3
均为其线性无关的解，则
y=C
1
y
1
+C
2
y
2
+y
3
是y"+p(x)y′+q(x)y=3f(x)的解，故(A)选项不正确．
y=C
1
y
1
+C
2
y
2
－(C
1
+C
2
)y
3
=C
1
(y
1
－y
3
)+C
2
(y
2
－y
3
)是方程对应的齐次方程的解，故(B)选项不正确．
y=C
1
y
1
+C
2
y
2
+(1－C
1
－C
2
)y
3
=C
1
(y
1
－y
3
)+C
2
(y
2
－y
3
)+y
3
，
其中C
1
(y
1
－y
2
)+C
2
(y
2
－y
3
)为齐次方程的通解，y
3
为原方程的一个特解，故(C)选项正确．
y=C
1
y
1
+C
2
y
2
－(1－C
1
－C
2
)y
3
=C
1
(y
1
+y
3
)+C
2
(y
2
+y
3
)－y
3
是y"+p(x)y′+q(x)y=(2C
1
+2C
2
－1)f(x)的解，
综上讨论，应选(C)．
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/MPD4777K
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考研数学三
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