2. 考研
  3. (Ⅰ)求曲线y=xe—x在点(1，)处的切线方程； (Ⅱ)求曲线y=∫0x(t一1)(t一2)dt上点(0，0)处的切线方程； (Ⅲ)设曲线y=x2+ax+b和2y=一1+xy3在点(1，一1)处相切，求常数a，b．

(Ⅰ)求曲线y=xe—x在点(1，)处的切线方程； (Ⅱ)求曲线y=∫0x(t一1)(t一2)dt上点(0，0)处的切线方程； (Ⅲ)设曲线y=x2+ax+b和2y=一1+xy3在点(1，一1)处相切，求常数a，b．

admin2020-03-10  139
问题 (Ⅰ)求曲线y=xe—x在点(1，)处的切线方程；
    (Ⅱ)求曲线y=∫0x(t一1)(t一2)dt上点(0，0)处的切线方程；
    (Ⅲ)设曲线y=x2+ax+b和2y=一1+xy3在点(1，一1)处相切，求常数a，b．
选项
答案(Ⅰ)因为y’=(1一x)e—x，于是y’(1)=0．从而曲线y=xe—x在点(1，[*])． (Ⅱ)因y’(0)=[∫0x(t—1)(t一2)dt]’｜x=0=(x—1)(x一2)｜x=0=2，于是曲线在点(0，0)处的切线方程是y=2x． (Ⅲ)曲线y=x2+ax+b过点(1，一1)，所以1+a+b=一1，在点(1，一1)处切线的斜率为 y’=(x2+ax+b)｜x=0=2+a． 将方程2y=一1+xy3对x求导得2y’=y3+3xy2y’．由此知，该曲线在点(1，一1)处的斜率y’(1)满足2y’(1)=(一1)3+3y’(1)，解出得y’(1)=1．因这两条曲线在点(1，一1)处相切，所以在该点它们切线的斜率相同，即2+a=1，即a=一1．再由1+a+b=一1得b=一2—a=一1．因此a=一1，b=一1．
解析
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考研数学三

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