2. 考研
  3. 设二次型 f=x12+x22+x32+2αx1x2+2βx2x3+2x1x3 经正交变换x=Py化成f=y22+2y32，其中x=(x1，x2，x3)T和y=(y1，y2，y3)T都是3维列向量，P是3阶正交矩阵．试求常数α，β

设二次型 f=x12+x22+x32+2αx1x2+2βx2x3+2x1x3 经正交变换x=Py化成f=y22+2y32，其中x=(x1，x2，x3)T和y=(y1，y2，y3)T都是3维列向量，P是3阶正交矩阵．试求常数α，β

admin2019-12-26  57
问题 设二次型
              f=x12+x22+x32+2αx1x2+2βx2x3+2x1x3
经正交变换x=Py化成f=y22+2y32，其中x=(x1，x2，x3)T和y=(y1，y2，y3)T都是3维列向量，P是3阶正交矩阵．试求常数α，β.
选项
答案二次型f(x1，x2，x3)的矩阵为 [*] 因为P为正交矩阵，所以 [*] 即A与B相似，故A与B有相同的特征值λ1=0，λ2=1，λ3=2，这些特征值满足|λE-A|=0． 当λ1=0，则 [*] 当λ2=1，则 [*] 由式(1)和(2)，可求得α=β=0．
解析
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考研数学三

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