设y=ex(C1sinx+C2cosx)(C1，C2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为__________.

admin2013-03-19 99

问题设y=e^x(C₁sinx+C₂cosx)(C₁，C₂为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为__________.

选项

答案y"-2y’+2y=0．

解析一：由通解的形式可知特征方程的两个根是r₁，r₂=1±i，从而得知特征方程为
(r-r₁)(r-r₂)=r²-(r₁+r₂)r+r₁r₂=r²-2r+2=0．
由此，所求微分方程为y"-2y’+2y=0．
二：根本不去管它所求微分方程是什么类型(只要是二阶)，由通解y=e^x(C₁sinx+C₂cosx)，求得
y’=e^x[(C₁-C₂)sinx+(C₁+C₂)cosx]， y"=e^x(-2C₂sinx+2C₁cosx)，这三个式子消去C₁与C₂，得y"-2y’+2y=0．

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