2. 考研
  3. 设y=f(x)= (Ⅰ)讨论函数f(x)的奇偶性，单调性，极值； (Ⅱ)讨论曲线y=f(x)的凹凸性，拐点，渐近线，并根据以上(Ⅰ)、(Ⅱ)的讨论结果，画出函数y=f(x)的大致图形．

设y=f(x)= (Ⅰ)讨论函数f(x)的奇偶性，单调性，极值； (Ⅱ)讨论曲线y=f(x)的凹凸性，拐点，渐近线，并根据以上(Ⅰ)、(Ⅱ)的讨论结果，画出函数y=f(x)的大致图形．

admin2019-07-28  47
问题 设y=f(x)=
(Ⅰ)讨论函数f(x)的奇偶性，单调性，极值；
(Ⅱ)讨论曲线y=f(x)的凹凸性，拐点，渐近线，并根据以上(Ⅰ)、(Ⅱ)的讨论结果，画出函数y=f(x)的大致图形．
选项
答案(Ⅰ)因为二次式x2±x+1的判别式(±1)2－4=－3＜0，所以x2±x+1＞0，f(x)的定义域为(－∞，+∞)． 又f(x)=－f(x)，所以f(x)为奇函数． [*] 当0≤x≤[*]时，f′(x)＜0．当x＞[*]时，f′(x)的分子中两项记为a，b，a＞0，b＞0，考虑 a2－b2=[(2x－1)[*] =－6x＜0， 故0＜a＜b．所以当x＞[*]时，仍有f′(x)＜0，从而当0≤x＜+∞时，f′(x)＜0．又f(x)为奇函数，故当－∞＜x＜0时，f′(x)＜0．所以当x∈(－∞，+∞)时，均有f′(x)＜0，即f(x)在(－∞，+∞)上严格单调减少，f(x)无极值． (Ⅱ) [*] f″(0)=0． 所以当－∞＜x＜0时，曲线y=f(x)是凸的，当0＜x＜+∞时，曲线是凹的．点(0，f(0))为拐点． 易知无铅直渐近线．考虑水平渐近线： [*] 所以沿x→+∞方向有水平渐近线y=－1．由于f(x)为奇函数，所以沿x→－∞方向有一条水平渐近线y=1． 画图如下： [*]
解析
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考研数学二

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