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  3. 设A=(a1，a2，…，an)是s×n矩阵，b是s维非零列向量，以下选项中不能作为Ax=b有解的充要条件的是( )

设A=(a1，a2，…，an)是s×n矩阵，b是s维非零列向量，以下选项中不能作为Ax=b有解的充要条件的是( )

admin2022-06-22  3
问题 设A=(a1，a2，…，an)是s×n矩阵，b是s维非零列向量，以下选项中不能作为Ax=b有解的充要条件的是(          )
选项 A、b可以由向量a1，a2，…，an线性表示
B、向量组a1，a2，…，an与向量组a1，a2，…，an，b等价
C、矩阵方程AX=(A，6)有解
D、向量组a1，a2，…，an，b线性相关
答案D
解析 ①Ax=b有解存在不全为零的常数k1，k2，…，kn使得b=k1α1+k2α2+…+knαn，即b可以由向量组α1，α2，…，αn线性表示。
②Ax=b有解b可以由向量组α1，α2，…，αn线性表示向量组α1，α2，…，αn，b可以由向量组α1，α2，…，αn线性表示。
又因为向量组α1，α2，…，αn可以由向量组α1，α2，…，αn，b线性表示，所以Ax=b有解向量组α1，α2，…，αn与向量组α1，α2，…，αn，b等价。
③若Ax=b有解，则可设Aξ=b，于是A(E，ξ)=(A，b)，即AX=(A，b)有解。
充分性，若AX=(A，b)有解，可设AB=(A，b)，于是取ξ为B的最后一列，则Aξ=b，即Ax=b有解。
④由①可知，当线性方程组Ax=b有解时，向量组α1，α2，…，αn，b线性相关。但反之未必，例如，取s=n=2，A=(α1，α2)=，则向量组α1，α2，b线性相关，但Ax=b无解。
综上可知，应选D。
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考研数学一

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