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  3. 设f(x)在(－∞，＋∞)上连续，F(x)＝∫0xf(t)dt，则下列命题中错误的是( )。

设f(x)在(－∞，＋∞)上连续，F(x)＝∫0xf(t)dt，则下列命题中错误的是( )。

admin2019-12-23  41
问题 设f(x)在(－∞，＋∞)上连续，F(x)＝∫0xf(t)dt，则下列命题中错误的是(     )。
选项 A、若f(x)是偶函数，则F(x)是奇函数
B、若f(x)是奇函数，则F(x)是偶函数
C、若f(x)以T为周期且是偶函数，则F(x)以T为周期且是奇函数
D、若f(x)以T为周期且是奇函数，则F(x)以T为周期且是偶函数
答案C
解析 [解题思路]  利用∫0xf(t)dt的性质判定。
    解  利用∫0xf(t)dt的性质知，(A)、(B)均正确，而(C)错误。例如，f(x)≡1是以T为周期的偶函数，但F(x)＝∫0x1dt＝x不是周期函数，但(D)是正确的。
    我们知道，若f(x)是以T为周期，则其原函数F(x)＝∫0xf(t)dt也是以T为周期的充要条件是∫0Tf(x)dx＝0。
当f(x)以T为周期且是奇函数时，有
，
因而F(x)＝∫0xf(t)dt以T为周期且是偶函数，仅(C)入选。
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