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设f(x)在(-∞,+∞)上连续,F(x)=∫0xf(t)dt,则下列命题中错误的是( )。
设f(x)在(-∞,+∞)上连续,F(x)=∫0xf(t)dt,则下列命题中错误的是( )。
admin
2019-12-23
41
问题
设f(x)在(-∞,+∞)上连续,F(x)=∫
0
x
f(t)dt,则下列命题中错误的是( )。
选项
A、若f(x)是偶函数,则F(x)是奇函数
B、若f(x)是奇函数,则F(x)是偶函数
C、若f(x)以T为周期且是偶函数,则F(x)以T为周期且是奇函数
D、若f(x)以T为周期且是奇函数,则F(x)以T为周期且是偶函数
答案
C
解析
[解题思路] 利用∫
0
x
f(t)dt的性质判定。
解 利用∫
0
x
f(t)dt的性质知,(A)、(B)均正确,而(C)错误。例如,f(x)≡1是以T为周期的偶函数,但F(x)=∫
0
x
1dt=x不是周期函数,但(D)是正确的。
我们知道,若f(x)是以T为周期,则其原函数F(x)=∫
0
x
f(t)dt也是以T为周期的充要条件是∫
0
T
f(x)dx=0。
当f(x)以T为周期且是奇函数时,有
,
因而F(x)=∫
0
x
f(t)dt以T为周期且是偶函数,仅(C)入选。
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0
考研数学一
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