设α＝(a1，a2，a3)T，β＝(b1，b2，b3)T，且α，β是正交向量．试求：(Ⅰ)｜A｜；(Ⅱ)A3；(Ⅲ)A－1．

admin2019-01-24 42

问题设α＝(a₁，a₂，a₃)^T，β＝(b₁，b₂，b₃)^T，且α，β是正交向量．

试求：(Ⅰ)｜A｜；(Ⅱ)A³；(Ⅲ)A^－1．

选项

答案(Ⅰ)因为α，β正交，所以α^Tβ＝a₁b₁＋a₂b₂＋a₃b₃＝[*]＝0． [*] (Ⅱ)由题设易知A＝E＋αβ^T，A³＝(E＋αβ^T)³＝E³＋3E²αβ^T＋3E(αβ^T)²＋(αβ^T)³，其中 β^Tα＝α^Tβ＝0，故A³＝E＋3αβ^T，其中αβ^T＝[*]． (Ⅲ)由 A²＝(E＋αβ^T)²＝E²＋2Eαβ^T＋(αβ^T)² ＝E＋2αβ^T＝2E＋2αβ^T－E＝2A－E．因此 A²－2A＝－E，A(A－2E)＝－E，A(2E－A)＝E．故 A^－1＝2E－A＝2E－(E＋αβ^T)＝E－αβ^T，其中[*]

解析

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考研数学一

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