(2016年)已知函数f(x)可导，且f(0)=1，设数列{xn}满足xn+1=f(xn)(n=1，2，…)．证明：存在，且

admin2018-07-01 92

问题 (2016年)已知函数f(x)可导，且f(0)=1，

设数列{x_n}满足x_n+1=f(x_n)(n=1，2，…)．证明：

存在，且

选项

答案设[*]的前n项和为S_n，则S_n=x_n+1一x₁．由上题知，[*]存在，即[*]存在．所以[*]存在．设[*]由x_n+1=f(x_n)及f(x)连续，得c=f(c)，即c是g(x)=x一f(x)的零点．因为g(0)=一1，g(2)=2一f(2)=1一[f(2)一f(0)]=1—2f’(η)＞0，其中η∈(0，2)．g’(x)=1一f’(x)＞0，所以g(x)存在唯一零点，且零点位于区间(0，2)内．于是0＜c＜2，即[*]

解析

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考研数学一

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