2. 考研
  3. 设A=E+αβT，其中α=[a1，a2，…，an]T≠0，β=[b1，b2，…，bn]T≠0，且αTβ=2． (1)求A的特征值和特征向量； (2)求可逆矩阵P，使得P-1AP=A．

设A=E+αβT，其中α=[a1，a2，…，an]T≠0，β=[b1，b2，…，bn]T≠0，且αTβ=2． (1)求A的特征值和特征向量； (2)求可逆矩阵P，使得P-1AP=A．

admin2018-09-20  55
问题 设A=E+αβT，其中α=[a1，a2，…，an]T≠0，β=[b1，b2，…，bn]T≠0，且αTβ=2．
    (1)求A的特征值和特征向量；
    (2)求可逆矩阵P，使得P-1AP=A．
选项
答案(1)设 (E+αβT)ξ=λξ． ① ①式两端左边乘βT得βT(E+αβT)ξ=(βT+βTαβT)ξ=(1+βTα)βTξ=λβTξ． 若βTξ≠0，则λ=1+βTα=3；若βTξ=0，则由①式，λ=1． 当λ=1时，(E-A)X=一αβTX=[*][b1，b2，…，bn]X=0，即[b1，b2，…，bn]X=0，因αTβ=2， 故α≠0，β≠0，设b1≠0，则 ξ1=[b2，一b1，0，…，0]T，ξ2=[b3，0，一b1，…，0]T，…，ξn-1=[bn，0，…，0，一b1]T，即A的对应于特征值1的特征向量为k1ξ+k2ξ2+…+kn-1ξn-1，k1，k2，…，kn-1为不全为零的常数； 当λ=3时，(3E-A)X=(2E一αβT)X=0，ξn=α=[a1，a2，…，an]T，即A的对应于特征值3的特征向量为knξn，kn是不为零的常数． (2)由(1)可取可逆矩阵P=[ξ1，ξ2，…，ξn-1，ξn]=[*] 故P-1AP=[*]
解析
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考研数学三

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