已知A=，a是一个实数． (1)求作可逆矩阵U，使得U-1AU是对角矩阵． (2)计算｜A-E｜．

admin2018-06-27 57

问题已知A=

，a是一个实数．
(1)求作可逆矩阵U，使得U^-1AU是对角矩阵．
(2)计算｜A-E｜．

选项

答案(1)先求A的特征值．｜λE-A｜=[*]=(λ-a-1)²(λ-a+2) A的特征值为a+1(二重)和a-2(一重)．求属于a+1的两个线性无关的特征向量，即求[A-(a+1)E]X=0的基础解系： [*] 得[A-(a+1)E]X=0的同解方程组 x₁=x₂+x₃，得基础解系η₁=(1，l，0)^T，η₂=(1，0，1)^T．求属于a-2的一个特征向量，即求[A-(a-2)E]X=0的一个非零解： [*] 得[A-(a-2)E]X=0的同解方程组 [*] 得解η₃=(-1，1，1)^T．令U=(η₁，η₂，η₃)，则 U^-1AU=[*] (2)A-E的特征值为a(二重)和a-3，于是｜A-E｜=a²(a-3)．

解析

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