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设A是n阶矩阵,(E+A)x=0只有零解,则下列矩阵间乘法不能交换的是( )
设A是n阶矩阵,(E+A)x=0只有零解,则下列矩阵间乘法不能交换的是( )
admin
2014-04-16
67
问题
设A是n阶矩阵,(E+A)x=0只有零解,则下列矩阵间乘法不能交换的是( )
选项
A、A—E;A+E.
B、A-E;(A+E)
-1
.
C、A—E;(A+E)
*
.
D、A—E;(A+E)
T
.
答案
D
解析
法一 因(A+E)(A一E)=A
2
一E=(A—E)(A+E),(*)故A+E,A—E左、右可交换,故A成立.(*)式左、右两边各乘(A+E)
-1
,得(A—E)(A+E)
-1
=(A+E)
-1
(A—E),(**)故(A+E)
-1
,A—E可交换,故B成立.(**)式两边乘|A+E|(数),得(A—E)(A+E)
*
=(A+E)
*
(A—E),故(A+E)
*
,A—E可交换.故C成立.由排除法,知应选D,即(A+E)
T
,A—E不能交换.
法二 (A+E)(A—E)=(A+E)(A+E一2E)=(A+E)
2
一2(A+E)=(A+E一2E)(A+E)=(A—E)(A+E).同理(A+E)
-1
(A—E)=(A+E)
-1
(A+E一2E)=(A+E)
-1
(A+E)一2(A+E)
-1
=(A+E)(A+E)
-1
一2(A+E)
-1
=(A+E一2E)(A+E)
-1
=(A—E)(A+E)
-1
.同理(A+E)
*
(A—E)=(A—E)(A+E)
*
.故应选D.
法三 D不成立,因A
T
A≠AA
T
,或举出反例,如取
而
故(A+E)
T
(A一E)≠(A—E)(A+E)
T
,即D不成立.
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