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  3. 设f(x)∈c[a，6]，在(a，b)内二阶可导 (Ⅰ)若fA=0，fB＜0，f’+A＞0．证明：存在ζ∈(a，6)，使得f(ζ)f"(ζ)+f’2(n)=0； (Ⅱ)若fA=fB=∫abf(x)dx=0，证明：存在η∈(a，b)，使得f”

设f(x)∈c[a，6]，在(a，b)内二阶可导 (Ⅰ)若fA=0，fB＜0，f’+A＞0．证明：存在ζ∈(a，6)，使得f(ζ)f"(ζ)+f’2(n)=0； (Ⅱ)若fA=fB=∫abf(x)dx=0，证明：存在η∈(a，b)，使得f”

admin2021-01-28  101
问题 设f(x)∈c[a，6]，在(a，b)内二阶可导
    (Ⅰ)若fA=0，fB＜0，f’+A＞0．证明：存在ζ∈(a，6)，使得f(ζ)f"(ζ)+f’2(n)=0；
    (Ⅱ)若fA=fB=∫abf(x)dx=0，证明：存在η∈(a，b)，使得f”(η)=f(η)。
选项
答案(Ⅰ)因为f’+A＞0，所以存在c∈(a，6)，使得fC＞fA=0，因为fCfB＜0， 所以存在x0∈(c，b)，使得f(x0)=0；因为fA=f(x0)=0，由罗尔定理，存在xi∈(a，x0)，使得f’(x1)=0。 令φ(x)=f(x)f’(x)，由φA=φ(x1)=0，根据罗尔定理，存在ζ∈(a，x1)∈(a，b)，使得φ’(ζ)=0．而φ’(x)=f(x)f”(x)+f’2(x)，所以f(ζ)f”(ζ)+f’2(x)=0。 (Ⅱ)令F(x)=∫0xf(t)dt，因为FA=FB=0，所以由罗尔定理，存在c∈(a，b)，使得 F’C=0，即fC=0。 令h(x)=exf(x)，由hA=hC=hB=0，根据罗尔定理，存在ζ1∈(a，c)，ζ2∈(c，b)， 使得h’(ζ1)=h’(ζ2)=0，则h’(x)=ex[f(x)+f’(x)]，所以f(ζ1)+f’(ζ1)=0，f(ζ2)+f’(ζ2)。 再令G(x)=e-x[f(x)+f’(x)]，由G(ζ1)=G(ζ2)=0，根据罗尔定理，存在η∈(ζ1，ζ2)。 ∈(a，b)，使得G’(η)=0，而G’(x)=e-x[f"(x)-f(x)]且e-x≠0，所以f"(η)=f(η)。
解析
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考研数学三

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