2. 考研
  3. 设f(x)二阶可导，f(0)=0，且f″(x)＞0.证明：对任意的a＞0，b＞0，有f(a+b)＞f(a)+f(b).

设f(x)二阶可导，f(0)=0，且f″(x)＞0.证明：对任意的a＞0，b＞0，有f(a+b)＞f(a)+f(b).

admin2022-08-19  55
问题 设f(x)二阶可导，f(0)=0，且f″(x)＞0.证明：对任意的a＞0，b＞0，有f(a+b)＞f(a)+f(b).
选项
答案不妨设a≤b，由微分中值定理，存在ξ1∈(0，a)，ξ2∈(b，a+b)，使得 [*] 两式相减得f(a+b)-f(a)-f(b)=[f′(ξ2)-f′(ξ1)]a. 因为f″(x)＞0，所以f′(x)单调增加，而ξ1＜ξ2，所以f′(ξ2)＜f′(ξ2)， 故f(a+b)-f(a)-f(b)=[f′(ξ2)-f′(ξ1)a＞0，即 f(a+b)＞f(a)+f(b).
解析
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考研数学三

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