2. 考研
  3. [2011年] 设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX的秩为1，A的各行元素之和为3，则f在正交变换X=QY下的标准形为_________．

[2011年] 设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX的秩为1，A的各行元素之和为3，则f在正交变换X=QY下的标准形为_________．

admin2021-01-25  57
问题 [2011年]  设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX的秩为1，A的各行元素之和为3，则f在正交变换X=QY下的标准形为_________．
选项
答案[*]
解析 因秩(A)=1，且A为实对称矩阵，可对角化，由命题2．5．4．1(2)知A的特征值只有一个非零，有两个为零．又A的各行元素之和为3，故A的一个非零特征值为3(见命题2．5．1．4或由A[1，1，1]T=3[1，1，1]T也可看出)，所以在正交变换X=QY下的标准形为
         
    注：命题2．5．4．1  (2)若A为n阶实对称矩阵，则秩(A)等于A的非零特征值的个数(k重特征值视为k个特征值)，因而零特征值的个数等于n－秩(A)．
        命题2．5．1．4  设n阶矩阵A的各行元素之和为a，则a为A的一个特征值，且A的属于特征值a的一个特征向量为[1，1，…，1]T．
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考研数学三

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