设常系数线性微分方程y’’+ay’+2y=b ex的一个特解为y=(1+x+ex)ey，则常数a，b的值分别为

admin2019-07-10 101

问题设常系数线性微分方程y’’+ay’+2y=b e^x的一个特解为y=(1+x+e^x)e^y，则常数a，b的值分别为

选项 A、a=3，b=1．
B、a=3，b=一1
C、a=一3，b=1．
D、a=一3，b=一1．

答案D

解析因该方程的一个特解为
y=(1+x+e^x)e^y=e^x+xe^x+e^2x，根据方程右端函数f(x)=be^x可知，上述解中的e^2x不可能是非齐次方程的特解，必对应齐次方程的通解项，从而可知对应齐次方程的特征方程有一个根为λ₁=2．进而可知xe^x必是非齐次方程的一个特解，不可能是齐次方程的通解项，因此齐次方程的另一特征根为λ₂=1，于是可得齐次方程的特征方程为
(λ一2)(λ一1)=0，即λ²一3λ+2=0．
齐次方程为y’’一3y’+2y=0．
设非齐次方程为y’’一3y’+2y=f(x)，将y=xe^x代入可求得f(x)=一e^x．因此原方程为y’’一3y’+2y=一e^y，
可见a=一3，b=一1，应选(D)．

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考研数学三

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