设A是3阶实对称矩阵，满足A2+2A=0，并且r(A)=2． (1)求A的特征值． (2)当实数k满足什么条件时A+kE正定?

admin2018-11-20 62

问题设A是3阶实对称矩阵，满足A²+2A=0，并且r(A)=2．
(1)求A的特征值．
(2)当实数k满足什么条件时A+kE正定?

选项

答案(1)因为A是实对称矩阵，所以A的特征值都是实数．假设λ是A的一个特征值，则λ²+2λ是A²+2A的特征值．而A²+2A=0，因此λ²+2λ=0，故λ=0或一2．又因为r(A一0E)=r(A)=2，特征值0的重数为3一r(A—0E)=1，所以一2是A的二重特征值．A的特征值为0，一2，一2． (2)A+kE的特征值为k，k一2，k一2．于是当k＞2时，实对称矩阵A+kE的特征值全大于0，从而A+kE是正定矩阵．当k≤2时，A+kE的特征值不全大于0，此时A+kE不正定．

解析

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考研数学三

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