设A为正交矩阵，则下列矩阵中不属于正交矩阵的是( )

admin2018-12-29 55

问题设A为正交矩阵，则下列矩阵中不属于正交矩阵的是( )

选项 A、A^T
B、A²
C、A^*
D、2A

答案D

解析因A为正交矩阵，所以AA^T=A^TA=E，且｜A｜²=1。而(2A)(2A)^T=4AA^T=4E，可见2A不为正交矩阵，故选D。
事实上，由A^T(A^T)^T=A^TA=E，(A^T)^TA^T=AA^T=E，可知A^T为正交矩阵。
由A²(A²)^T=A(AA^T)A^T=AA^T=E，(A²)^TA²=A^T(A^TA)A=A^TA=E，可知A²为正交矩阵。
由A^*=｜A｜A^—1=｜A｜A^T，可得
A^*(A^*)^T=｜A｜A^T(｜A｜A)=｜A｜²A^TA=｜A｜²E=E，
(A^*)^TA^*=(｜A｜A)｜A｜A^T=｜A｜²AA^T=｜A｜²E=E，
故A^*为正交矩阵。

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