2. 考研
  3. (95年)假设函数f(x)和g(x)在[a，b]上存在二阶导数，并且g"(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a) =g(b)=0，试证： (1)在开区间(a，b)内g(x)≠0； (2)在开区间(a，b)内至少存在一点ξ，使

(95年)假设函数f(x)和g(x)在[a，b]上存在二阶导数，并且g"(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a) =g(b)=0，试证： (1)在开区间(a，b)内g(x)≠0； (2)在开区间(a，b)内至少存在一点ξ，使

admin2017-04-20  89
问题 (95年)假设函数f(x)和g(x)在[a，b]上存在二阶导数，并且g"(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)
=g(b)=0，试证：
(1)在开区间(a，b)内g(x)≠0；
(2)在开区间(a，b)内至少存在一点ξ，使
选项
答案(1)反证法．若[*]∈(a，b)，使g(c)=0，则由罗尔定理知[*]∈(a，c)，ξ1∈(c，b)，使g’(ξ1)=g’(ξ2)=0，从而[*]∈(ξ1，ξ2)．使g"(ξ)=0，这与题设g"(x)≠0矛盾． (2)令φ(x)=f(x)g’(x)一f’(x)g(x) 由f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0知，φ(a)=φ(b)=0，由罗尔定理知[*]∈(a，b)，使φ’(ξ)=0，即 f
解析
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考研数学一

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