已知二次曲面方程χ2＋ay2＋z2＋2bχy＋2χz＋2yz＝4可以经过正交变换化为椭圆柱面方程η2＋4ξ2＝4，求a，b的值和正交矩阵P．

admin2020-03-05 59

问题已知二次曲面方程χ²＋ay²＋z²＋2bχy＋2χz＋2yz＝4可以经过正交变换

化为椭圆柱面方程η²＋4ξ²＝4，求a，b的值和正交矩阵P．

选项

答案根据题意，矩阵A＝[*]和矩阵B＝[*]是相似的，于是有＝｜λE－B｜，即 [*] 解得a＝3，b＝1．此时，矩阵A＝[*]，特征值为λ₁＝0，λ₂＝1，λ₃＝4．由(0E－A)χ＝0，得属于特征值λ₁＝0的特征向量为α₁＝(1，0，－1)^T；由(E－A)χ＝0，得属于特征值λ₂＝1的特征向量为α₂＝(1，－1，1)^T；由(4E－A)χ＝0，得属于特征值λ₃＝4的特征向量为α₃＝(1，2，1)^T．将α₁，α₂，α₃单位化，得到 [*]

解析

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考研数学一

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已知二次曲面方程χ2＋ay2＋z2＋2bχy＋2χz＋2yz＝4可以经过正交变换化为椭圆柱面方程η2＋4ξ2＝4，求a，b的值和正交矩阵P．

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