设f(x)在[1，+∞)内可导，f′(x)＜0且f(k)-∫1nf(x)dx.证明：{an}收敛且0≤an≤f(1).

admin2022-08-19 56

问题设f(x)在[1，+∞)内可导，f′(x)＜0且

f(k)-∫₁ⁿf(x)dx.证明：{a_n}收敛且0≤

a_n≤f(1).

选项

答案因为f′(x)＜0，所以f(x)单调减少. 又因为a_n+1-a_n=f(n+1)-∫_nⁿ⁺¹f(x)dx=f(n+1)-f(ξ)≤0(ξ∈[n，n+1])，所以{a_n}单调减少. [*] 因为a_n=f(1)+[f(2)-∫₁²f(x)dx]+…+[f(n)-∫_n-1ⁿf(x)dx]，而f(k)-∫_k-1^kf(x)dx≤0(k=2，3，…，n)，所以a_n≤f(1)，从而[*]

解析

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