2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上二阶可导，f(1)=1，且，证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)-2f’(ξ)+2=0．

设f(x)在[0，1]上二阶可导，f(1)=1，且，证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)-2f’(ξ)+2=0．

admin2021-10-18  98
问题 设f(x)在[0，1]上二阶可导，f(1)=1，且，证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)-2f’(ξ)+2=0．
选项
答案由[*]得f(0)=0，f’(0)=1，由拉格朗日中值定理，存在c∈(0，1)，使得f’(c)=[f(1)-f(0)]/(1-0)=1，令φ(x)=e-2x[f’(x)-1]，由f’(0)=f’(c)=1得φ(0)=φ(c)=0， 由罗尔定理，存在ξ∈(0，c)∈(0，1)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=-2e-2x[f’(x)-1]+e-2xf"(x)=e-2x[f"(x)-2f’(x)+2]，因为e-2x≠0，所以f"(ξ)-2f’(ξ)+2=0．
解析
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考研数学二

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