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  3. 设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵，已知矩阵B=λE+ATA，试证：当λ>0时，矩阵B为正定矩阵．

设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵，已知矩阵B=λE+ATA，试证：当λ>0时，矩阵B为正定矩阵．

admin2019-03-12  63
问题 设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵，已知矩阵B=λE+ATA，试证：当λ>0时，矩阵B为正定矩阵．
选项
答案因为BT=(λB+ATA)T=λE+ATA=B，所以B是n阶实对称矩阵．构造二次型xTBx， 那么 xTBx=xT(λE+ATA)x=λxTx+xTATAx=λxTx+(Ax)T(Ax)． Vx≠0，恒有xTx>0，(Ax)T(Ax)≥0． 因此 当λ>0时，Vx≠0，有xTBx=λxTx+(Ax)T(Ax)>0． 二次型为正定二次型，故B为正定矩阵．
解析
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考研数学三

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