(2003年试题，十一)若矩阵相似于对角矩阵A，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P使P-1AP=A

admin2013-12-18 115

问题 (2003年试题，十一)若矩阵

相似于对角矩阵A，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P使P^-1AP=A

选项

答案由题设，先求矩阵A的特征值，设E为三阶单位矩阵，则由[*]可得λ₁=6，λ₂=6，λ₃=一2，欲使A相似于对角阵A，应使λ₁=λ₂=6对应两个线性无关的特征向量，因此A一6E的秩为1，于是[*]可得出a=0，从而[*]面求特征向量．当λ₁=λ₂=6时，由(A一6E)x=0可得出两个线性无关的特征向量为ξ₁=(0，0，1)^T，ξ₂=(1，2，0)^T当λ₃=一2时，由(A+2E)x=0可得ξ₃=(1，一2，0)^T，于是[*]且P^-1存在，并有P^-1AP=A，其中[*]

解析 1．A与对角矩阵相似的充分必要条件(1)A有n个线性无关的特征向量；(2)对A的每个特征值，线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数．2．A与对角矩阵相似的充分条件(1)A有n个不同的特征值；(2)A是实对称矩阵．

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考研数学二

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