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(2009年)设曲线y=f(x),其中y=f(x)是可导函数,且f(x)>0。已知曲线y=f(x) 与直线y=0,x=1及x=t(t>1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍,求该曲线方程。
(2009年)设曲线y=f(x),其中y=f(x)是可导函数,且f(x)>0。已知曲线y=f(x) 与直线y=0,x=1及x=t(t>1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍,求该曲线方程。
admin
2021-01-25
100
问题
(2009年)设曲线y=f(x),其中y=f(x)是可导函数,且f(x)>0。已知曲线y=f(x) 与直线y=0,x=1及x=t(t>1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍,求该曲线方程。
选项
答案
旋转体的体积为V=∫
1
t
πf
2
(x)dx=π∫
1
t
f
2
(x)dx。曲边梯形的面积为S=∫
1
t
f(x)dx,则由题可知 V=πtS,即π∫
1
t
f
2
(x)dx=πt∫
1
t
f(x)dx,也就是∫
1
t
f
2
(x)dx=t∫
1
t
f(x)dx。 两边对t求导可得 f
2
(t)=∫
1
t
f(x)dx+tf(t),即f
2
(t)一tf(t)=∫
1
t
f(x)dx (*) 继续求导可得 2f(t)f’(t)一f(t)一tf’(t)=f(t), 记f(t)=y,化简可得 [*] 在(*)式中令t=1,则f
2
(1)一f(1)=f(1)[f(1)一1]=0,因为f(t)>0,所以f(1)=1。代入[*] 所以该曲线方程为[*]
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/HAx4777K
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考研数学三
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